Question

求函数y=（cosx）²+asinx+3a-2（x∈[0，

π

2

]）的最值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：将函数通过换元变成y=-t²+at+3a-1的形式，通过讨论对称轴所在的区间，从而求出函数的最大值，最小值．

解答： 解：∵y=-sin²x+asinx+3a-1，x∈[0，

π

2

]，
∴0≤sinx≤1，
设：t=sinx，∴0≤t≤1，
∴y=-t²+at+3a-1，
∴对称轴t=

a

2

，
①t=

a

2

≤0，即a≤0时：
t=0时，y最大，y_最大=3a-1，
t=1时，y最小，y_最小=4a-2，
②0＜

a

2

≤

1

2

，即0＜a≤1时：
t=

a

2

时，y最大，y_最大=

a2

4

+3a-1，
t=1时，y最小，y_最小=4a-2，
③

1

2

＜

a

2

≤1，即1＜a≤2时：
t=

a

2

时，y最大，y_最大=

a2

4

+3a-1，
t=0时，y最小，y_最小=3a-1，
④

a

2

＞1，即a＞2时：
t=1时，y最大，y_最大=4a-2，
t=0时，y最小，y_最小=3a-1．

点评：本题考察了函数的最值问题，换元法，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．