Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

2

3

．
（Ⅰ）求2cos²

B+C

2

+sin2（B+C）；
（Ⅱ）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由cosA=

2

3

，可得sinA=

5

3

，化简要求的式子可得1-cosA-2sinAcosA，代入化简可得；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得3=b2+c2-2bc×

2

3

≥2bc-bc×

4

3

=

2bc

3

，结合三角形的面积公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

2

3

，∴sinA=

1-cos2A

=

5

3

，
∴2cos2

B+C

2

+sin2(B+C)=2sin2

A

2

-sin2A
=1-cosA-2sinAcosA=1-

2

3

-2×

5

3

×

2

3

=

3-4 5

9

；
（Ⅱ）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
代入数据可得3=b2+c2-2bc×

2

3

≥2bc-bc×

4

3

=

2bc

3

，
∴bc≤

9

2

，∴S△ABC≤

1

2

×

9

2

×

1-( 2 3 )2

=

9

4

×

5

3

=

3 5

4

当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC面积最大值为

3 5

4

点评：本题考查解三角形，涉及三角函数的运算和基本不等式的应用，属中档题．