Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（Ⅰ）若a=2，设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，求h（x）的最小值；
（Ⅱ）过原点分别作函数f（x）与g（x）的切线，且两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或1＜a＜2．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求h（x）的最小值；
（Ⅱ）利用两切线的斜率互为倒数，可得

1

x2

-a=

lnx2-a(x2-1)

x2

，从而可得e^a-ae-1=0，令F（a）=e^a-ae-1，确定其单调性，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：h'（x）=ex+

1

x+1

-2，…（1分）
令p（x）=ex+

1

x+1

-2，
因为x≥0，
所以p′(x)=ex-

1

(x+1)2

=

(x+1)2ex-1

(x+1)2

≥0，…（2分）
所以p（x），即h'（x））在[0，+∞）上递增，
所以h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上递增，…（4分）
所以h（x）_min=h（0）=1…（5分）
（2）证明：设g（x）的切点（x₁，y₁），f（x）的切点（x₂，y₂），
由

g′(x1)=ex1= y1 x1 y1=ex1

，解得

x1=1 y1=e k=e

，…（7分）
所以

f′(x2)= 1 x2 -a= 1 e = y2 x2 y2=lnx2-a(x2-1)

，
所以

1

x2

-a=

lnx2-a(x2-1)

x2

，
所以lnx₂=1-a，
所以x2=e1-a代入

1

x2

-a=

1

e

得e^a-ae-1=0，
令F（a）=e^a-ae-1，则F'（a）=e^a-e，
所以F（a）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）上递增…（9分）
当a∈（-∞，1）时，因为F（0）=0，所以a=0…（10分）
当a∈（1，+∞）时，F（1）=-1＜0，F（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
综上a=0或1＜a＜2…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，正确构建函数是关键．