Question

已知函数f（x）=log_a（x-a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=a^x+1，函数F（x）=[h（x）+2]²的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数过定点，代入解对数方程即可得到结论．
（Ⅱ）根据函数F（x）的图象恒在函数G（x）的上方，转化为不等式F（x）＞G（x）恒成立，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log_a（x-a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．
∴f（3）=log_a（3-a）+1=1，即log_a（3-a）=0，
解得3-a=1，解得a=2；
（Ⅱ）∵函数F（x）=[h（x）+2]²的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方
∴F（x）＞G（x）恒成立，
即[h（x）+2]²＞h（2x）+m+2，
即（2^x+3）²＞2^2x+1+m+2，
整理得m＜（2^x）²+2•2^x+6，
设H（x）=（2^x）²+2•2^x+6，令t=2^x，则t＞0，
则H（t）=t²+2t+6=（t+1）²+5，
∵t＞0，∴H（t）＞H（0）=6
∴m≤6．

点评：本题主要考查与对数函数有关的性质以及不等式恒成立问题，综合考查学生的运算能力，利用换元法是解决本题的关键．