Question

设函数f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上的偶函数，且满足f（1-x）=f（1+x）（x∈R）．记I_k=（2k-1，2k+1]（k∈Z）．已知当x∈I_°时，f（x）=x²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k∈N^*，M_k表示使方程f（x）=ax在x∈I_k上有两个不相等实根的a的取值集合．
①求M₁；②求M_k．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x）?f（x+2）=f（-x）=f（x），得f（x）是以2为周x∈I_k期的函数，从而求出f（x）的解析式；
（2）．①设x∈I₁，则 x-2∈I₀，得方程f（x）=ax可化为：x²-（4+a）x+4=0x∈（1，3]（*）则：

△=a(a+8)＞0 1＜ 4+a 2 ＜3 g1(1)=1-a＞0 g1(3)=1-3a≥0

；解出即可；
②当k∈N^*且x∈I_k时，方程f（x）=ax化为x²-（4k+a）x+4k²=0，令g（x）=x²-（4k+a）x+4k²则

△=a(a+8k)＞0 2k-1＜ 4k+a 2 ＜2k+1 g(2k-1)=1-2ak+a＞0 g(2k+1)=1-2ak-a≥0

，解出即可．

解答： 解：（1）因为f（1-x）=f（1+x）?f（x+2）=f（-x）=f（x）
所以  f（x）是以2为周x∈I_k期的函数，
∴f（x-2k）=f（x），（k∈Z），
当时，（x-2k）∈I_°，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²，
∴f（x）的解析式为：∴f（x）=（x-2k）²，x∈I_K．
（2）．①设x∈I₁，则 x-2∈I₀，∴f（x）=f（x-2）=（x-2）²，
方程f（x）=ax可化为：x²-（4+a）x+4=0x∈（1，3]（*）
令g1(x)=x2-(4+a)x+4方程（*）在x∈（1，3]上有两相异实根，
则：

△=a(a+8)＞0 1＜ 4+a 2 ＜3 g1(1)=1-a＞0 g1(3)=1-3a≥0

；
⇒a∈（0，

1

3

]，∴M₁=（0，

1

3

]．
②当k∈N^*且x∈I_k时，方程f（x）=ax化为x²-（4k+a）x+4k²=0，
令g（x）=x²-（4k+a）x+4k²…（10分）
使方程f（x）=ax在I_K上有两个不相等的实数根，
则

△=a(a+8k)＞0 2k-1＜ 4k+a 2 ＜2k+1 g(2k-1)=1-2ak+a＞0 g(2k+1)=1-2ak-a≥0

，
即

a＞0或a＜-8k -2＜a＜2 a＜ 1 2k-1 a≤ 1 2k+1

，
∴0＜a≤

1

2k+1

，
∴M_K={a|0＜a≤

1

2k+1

}．

点评：本题考查了函数的零点和方程根的关系，考查函数的解析式的求法，本题属于中档题．