Question

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2 x2-2x．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件，f（0）=0，设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），所以有f（-x）=2x2+2x=-f（x），这样即可求出x在（-1，0）上的解析式，从而得出f（x）在（-1，1）上的解析式f（x）=

2x2-2x x∈(0，1) 0 x=0 2x2+2x x∈(-1，0)

；
（2）根据复合函数的单调性判断2x2-2x在（0，1）上的单调性，从而根据单调性求出该函数在（0，1）上的值域，根据奇函数图象的对称性即可求出f（x）在（-1，0）上的值域，又x=0时，y=0，从而求出f（x）在（-1，1）上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）在（-1，1）上为奇函数，f（0）=0；
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f(-x)=2x2+2x=-f(x)；
∴f(x)=-2x2+2x；
∴f(x)=

2x2-2x x∈(0，1) 0 x=0 -2x2+2x x∈(-1，0)

；
（2）当x∈（0，1）时，由复合函数的单调性可知，f(x)=2x2-2x在（0，1）上单调递减；
∴f(x)∈(

1

2

，1)；
∵f（x）为奇函数，∴当x∈（-1，0）时，∴f(x)∈(-1，-

1

2

)；
设y=f（x）；
∴综上所述：f（x）的值域为：{y|-1＜y＜-

1

2

或y=0或

1

2

＜y＜1}．

点评：考查奇函数在原点有定义时，f（0）=0，已知x∈（0，1）上的解析式求x∈（-1，0）上解析式的方法：设x∈（-1，0），-x∈（0，1），将-x带入f（x）在（0，1）上的解析式，然后根据f（x）为奇函数f（-x）=-f（x），从而求出f（x），以及复合函数的单调性，根据函数单调性求值域，奇函数在对称区间上的值域的特点．