Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中左焦点为F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由c=2，根据椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求得a=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=4，即可求得椭圆C的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得M的坐标，代入圆方程即可求得m的值．

解答 解：（1）由左焦点F（-2，0）．即c=2，
根据椭圆离心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得：a=2$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，
（2）点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，解得：-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$，
∵点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=5上，
∴（-$\frac{2m}{3}$）²+（$\frac{m}{3}$）²=5，解得：m=±3，
∴m的值±3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．