Question

17．（1）已知f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$，证明：f（x）是R上的增函数；
（2）解方程：log₅（3-2•5^x）=2x．

Answer 1

分析 （1）证法一：设x₁＜x₂，作差判断出f（x₁）＜f（x₂），根据函数单调性的定义，可得：f（x）是R上的增函数．
证法二：求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函数．
（2）原方程可化为3-2•5^x=5^2x，即（5^x-1）（5^x+3）=0，由5^x+3＞3≠0得：5^x-1=0，解得答案．

解答 （1）证明：证法一：
设x₁＜x₂，则${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}，{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}＜0，{{3}^{{x}_{1}}+1＞0，3}^{{x}_{2}}+1＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{3}^{{x}_{1}}-1}{{3}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{3}^{{x}_{2}}-1}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2（3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{{（3}^{{x}_{1}}+1）{（3}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
证法二：f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{2•{3}^{x}•ln3}{（{3}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
故f（x）是R上的增函数．
（2）解：由解得原方程可得3-2•5^x=5^2x，
整理得（5^x-1）（5^x+3）=0，
∵5^x+3＞3≠0，
∴5^x-1=0，
解得x=0，
∴所求方程的解集为{0}

点评 本题考查的知识点是函数单调性的证明，指数方程的解法，难度中档．