Question

3．解方程ln（2x+1）=ln（x²-2）；
求函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^2x+2×（$\frac{1}{2}$）^x（x≤-1）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据方程式，方程的解需要满足函数定义域要求，再根据对数相等即可列出方程式；
（2）利用换元法转化为一元二次函数来求原函数的值域即可；

解答 解：（1）由题意：ln（2x+1）=ln（x²-2）；
所以有$\left\{\begin{array}{l}{2x+1＞0}\\{{x}^{2}-2＞0}\\{2x+1={x}^{2}-2}\end{array}\right.$⇒x=3 或-1（负舍）
故方程的解为{x|x=3}；
（2）由题意：函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^2x+2×（$\frac{1}{2}$）^x（x≤-1）
令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$∈[2，+∞），换元后得：
g（t）=t²+2t （t≥2）
g（t）为一元二次函数，开口朝上，对称轴为t=-1，知：
g（t）在（2，+∞）上单调递增，g（t）_min=8
故g（t）的值域为[8，+∞）

点评 本题主要考查了方程的解以及定义域，同时考查了利用换元法求函数值域，属基础题．