Question

6．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若满足${a^2}={（b-c）^2}+（2-\sqrt{3}）bc$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若$\frac{1-cos2A}{1-cos2B}=\frac{a}{b}$，且${S_{△ABC}}=\sqrt{3}$，求边长c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据夹角公式即可求出，
（Ⅱ）根据正弦定理和二倍角公式即可求出a=b，再根据三角形的面积公式求出a，再根据余弦定理即可求出边长c．

解答 解：（Ⅰ）由足${a^2}={（b-c）^2}+（2-\sqrt{3}）bc$，
∴a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$
（Ⅱ）根据正弦定理可知：$\frac{1-cos2A}{1-cos2B}=\frac{sinA}{sinB}$，
利用二倍角公式可知：$\frac{2si{n}^{2}A}{2si{n}^{2}B}$=$\frac{sinA}{sinB}$
由此可知sinA=sinB，
∴a=b，
∴C=π-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\sqrt{3}$
解得a=2，
由余弦定理可得c²=b²+a²-abbcosC=4+4-2×2×2×（-$\frac{1}{2}$）=12，
∴c=2$\sqrt{3}$

点评 本题考查了正弦定理余弦定理三角形的面积公式和二倍角公式，考查了学生的运算能力，属于中档题