Question

18．已知函数f（x）=|x-2|+2|x+1|的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a、b、c∈R，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$+c²=m，求c（a+b）的最大值．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围：x≤-1，-1＜x≤2，x＞2，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象即可求得m值；
（2）把m值代入$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$+c²=m，变形后利用基本不等式求c（a+b）的最大值．

解答 解：（1）f（x）=|x-2|+2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-1}\\{x+4，-1＜x≤2}\\{3x，x＞2}\end{array}\right.$，其图象如图：

∴m=（f（x））_min=3；
（2）由$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$+c²=m=3，得a²+b²+2c²=6．
∴c（a+b）=ac+bc≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}+\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2{c}^{2}}{2}=\frac{6}{2}=3$．
当且仅当a=b=c时上式“=”成立．
故c（a+b）的最大值为3．

点评 本题考查分段函数的图象和性质，考查最值的求法，注意运用图象和基本不等式，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题．