Question

16．在△ABC中，已知AB=4，且tanAtanB=$\frac{3}{4}$，则△ABC的面积的最大值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用两角和的正切函数以及基本不等式化简可得：tanC=-tan（A+B）=-4（tanA+tanB）≤-8$\sqrt{tanAtanB}$，进而得到cosC，sinC．再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：在△ABC中，已知tanAtanB=$\frac{3}{4}$，tanA＞0，tanB＞0，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-4（tanA+tanB）≤-8$\sqrt{tanAtanB}$=-4$\sqrt{3}$，
当且仅当tanA=tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，取等号，
∴cosC=-$\frac{1}{7}$，
由16=a²+b²-2ab×（-$\frac{1}{7}$）≥2ab+$\frac{2}{7}$ab，解得：ab≤7，
可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×$7×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的解法与应用、基本不等式的应用、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．