Question

15．已知（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式前三项的二项式系数和为22．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ） 求展开式中的常数项；
（ III）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式展开得前三项，系数和为22，即可求出n．
（Ⅱ）利用通项公式求解展开式中的常数项即可．
（ III）利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．

解答 解：由题意，（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式前三项的二项式系数和为22．
（Ⅰ）二项式定理展开：前三项系数为：${C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}$=1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$=22，
解得：n=6或n=-7（舍去）．
即n的值为6．
（Ⅱ）由通项公式${T_{k+1}}=C_6^k{（{2x}）^{6-k}}{（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^k}=C_6^k{2^{6-k}}{x^{6-\frac{3k}{2}}}$，
令$6-\frac{3k}{2}=0$，
可得：k=4．
∴展开式中的常数项为${T_{4+1}}=C_6^4{2^{6-4}}{x^{6-\frac{12}{2}}}$=60；
（ III）∵n是偶数，展开式共有7项．则第四项最大
∴展开式中二项式系数最大的项为${T_{3+1}}=C_6^3{2^{6-3}}{x^{6-\frac{9}{2}}}$=160${x}^{\frac{3}{2}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题．