Question

14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow m=（sinB，-2sinA）$，$\overrightarrow n=（sinB，sinC）$且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）若B=90°，且a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积和正弦定理和夹角公式即可求出，
（Ⅱ）根据勾股定理和b²=2ac，可求出c的值，再根据三角形的面积公式计算即可

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m=（sinB，-2sinA）$，$\overrightarrow n=（sinB，sinC）$且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴sin²B-2sinAsinC=0，
由正弦定理：得：b²=2ac，
∵a=b，
∴a=2c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{c}^{2}}{2ac}$=$\frac{c}{2a}$=$\frac{1}{4}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=2ac，
当B=90°，b²=a²+c²=2ac，
∴a=c，
∵a=$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题