Question

16．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，该函数图象过点C$（\frac{3π}{8}，0）$，函数图象上与点C相邻的一个最高点为D$（\frac{π}{8}，2）$，
（1）求该函数的解析式f（x）．
（2）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最值及其对应的自变量x的值．

Answer 1

分析 （1）通过函数的最高点求得A=2，然后由CD对应横坐标的差得到周期，从而求得ω，通过经过的点求得φ；
（2）由（1）的解析式得到ωx+φ的范围，结合三角函数的性质求最值以及自变量值．

解答 解：因为函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，该函数图象过点C$（\frac{3π}{8}，0）$，函数图象上与点C相邻的一个最高点为D$（\frac{π}{8}，2）$，
所以A=2，且$\frac{T}{4}=\frac{3π}{8}-\frac{π}{8}=\frac{π}{4}$，T=π，所以$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}$=2，且sin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=1，所以φ=$\frac{π}{4}$；
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）由（1）得到2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，所以当2x+$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{4}$即x=$-\frac{π}{4}$时，f（x）的最小值为2×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）=-\sqrt{2}$；
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时，f（x）最大值为2．

点评 本题考查了三角函数的解析式的求法以及由三角函数解析式求最值；关键是熟练掌握正弦函数的图象和性质．