Question

已知函数f（x）=ae^x+b在（0，f（0））处切线为x-y+1=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），x₁＜x₂，k表示直线AB的斜率，求证：f′（x₁）＜k＜f（x₂）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f（x）=ae^x+b，f′（x）=ae^x，得a的值，从而求出b，进而f（x）的表达式；
（2）证明：由（1）得f′（x）=e^x，即证ex1＜

ex1-ex2

x1-x2

＜ex2，即证1＜

ex2-x1-1

x2-x1

＜ex2-x1，令t=x₂-x₁，则t＞0，这样只需证明1＜

et-1

t

＜e^t（t＞0），即t＜e^t-1＜te^t设g（t）=e^t-t-1，得g′（t）=e^t-1，从而h（t）在（0，+∞）也是在增函数，从而证明了t＜e^t-1＜te^t成立，问题解决．

解答： 解（1）f（x）=ae^x+b，f′（x）=ae^x，
∴由f′（0）=1得a=1
把x=0代入x-y+1=0得y=1，
即f（0）=1，
∴b=0，
∴f（x）=e^x．
（2）证明：由（1）得f′（x）=e^x，
∴证明f′（x₁ ）＜k＜f′（x₂ ）即证ex1＜

ex1-ex2

x1-x2

＜ex2，
各项同除以ex1，即证1＜

ex2-x1-1

x2-x1

＜ex2-x1，
令t=x₂-x₁，则t＞0，这样只需证明1＜

et-1

t

＜e^t（t＞0），
即t＜e^t-1＜te^t
设g（t）=e^t-t-1，g′（t）=e^t-1，
∵t＞0，∴g′（t）＞0，即g（t）在（0，+∞）上是增函数
∴g（t）＞g（0）=0，即e^t-1＞t，
设h（t）=（t-1）e^t+1，h′（t）=e^t+（t-1）e^t=te^t＞0，
∴h（t）在（0，+∞）也是在增函数
h（t）＞h（0）=0，即te^t＞e^t-1，
从而证明了t＜e^t-1＜te^t成立，
∴f′（x₁ ）＜k＜f′（x₂）成立．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，换元思想，是一道综合题．