Question

如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BCD=30°，BC=6．
（1）证明：平面ADC⊥平面ADB；
（2）求B到平面ADC的距离．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BD⊥面ABC，BD⊥AC，从而AC⊥面ADB，由此能证明面ADC⊥面ADB．
（2）由已知得BD=BC×tan30°=2

3

，AB=AC=3

2

，AD=

AB2+DB2

=

30

，设B到面ADC的距离为h，由V_C-ABD=V_B-ACD，能求出B到平面ADC的距离．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：∵面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，BD?面BCD，
∴BD⊥面ABC．（3分）
又AC?面ABC，∴BD⊥AC．（4分）
又AB⊥AC，且BD∩AB=B，
∴AC⊥面ADB．（5分）
又AC?面ADC，∴面ADC⊥面ADB．（6分）
（2）解：在Rt△BCD中，BC=6，∠BCD=30°，
∴BD=BC×tan30°=2

3

，（7分）
在等腰Rt△ABC中，BC=6，∴AB=AC=3

2

．（8分）
由（1）知BD⊥面ABC，∴BD⊥AB，（9分）
在Rt△ABD中，AB=3

2

，DB=2

3

，
∴AD=

AB2+DB2

=

30

，（10分）
又AC⊥面ADB，设B到面ADC的距离为h，
由V_C-ABD=V_B-ACD，（12分）
得

1

3

×

1

2

×AB×BD×AC=

1

3

×

1

2

×AC×AD×h，（13分）
解得h=

6 5

5

，即B到平面ADC的距离为

6 5

5

．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．