Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=AD=2，
E是SC的中点．
（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）以点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出异面直线DE与AC对应的向量，利用向量的数量积求解即可；
（Ⅱ）求出平面BSC的法向量，平面SCD的法向量，利用向量的数量积求二面角B-SC-D的大小．

解答： 解：（Ⅰ）SA⊥底面ABCD，所以SA⊥AD，SA⊥AB
底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD…（2分）
以点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，1，1）…（4分）
所以

DE

=(1，-1，1)，

AC

=(2，2，0)，

DE

•

AC

=0
所以异面直线DE与AC所成角为90°．…（6分）
（Ⅱ）由题意可知，

SB

=(2，0，-2)，

SC

=(2，2，-2)
设平面BSC的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，则

n1 • SC =x1+y1-z1=0 n1 • SB =x1-z1=0

，
令z₁=1，则

n1

=(1，0，1)，…（8分）

DS

=(0，-2，2)，

DC

=(2，0，0)
设平面SCD的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，则

n2 • DC =x2=0 n2 • DS =z2-y2=0

，
令y₂=1，则

n2

=(0，1，1)…（10分）
设二面角B-SC-D的平面角为α，则|cosα|=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

1

2 × 2

=

1

2

．
显然二面角B-SC-D的平面角为α为钝角，所以α=120°
即二面角B-SC-D的大小为120°．…（12分）

点评：本题考查空间向量数量积的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查计算能力．