Question

已知数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=

1 3 an+n an-3n

(n为奇数) (n为偶数)

．
（1）是否存在实数λ，使数列{a_2n-λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，求满足S_n＞0的所有正整数n．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：压轴题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）设b_n=a_2n-λ，依题意，可得

bn+1

bn

=

a2n+2-λ

a2n-λ

=

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

，若数列{a_2n-λ}是等比数列，则必须

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

=q（常数），整理得

1 3 -q=0 (q-1)λ+1=0

，求得

q= 1 3 λ= 3 2

，于是存在实数λ=

3

2

，使数列{a_2n-λ}是等比数列；
（2）由（1）得{b_n}是以-

1

6

为首项，

1

3

为公比的等比数列，于是a_2n-1+a_2n=-

1

2

[(

1

3

)n-1+(

1

3

)n]-6n+9=-2•(

1

3

)n-6n+9，利用分组求和的方法，分别用等比数列的求和公式与等差数列的求和公式即可求得S_2n=(

1

3

)n-3（n-1）²+2，分n=1与2讨论，计算即可得到答案．

解答： 解：（1）设b_n=a_2n-λ，
因为

bn+1

bn

=

a2n+2-λ

a2n-λ

=

1 3 a2n+1+(2n+1)-λ

a2n-λ

=

1 3 (a2n-6n)+(2n+1)-λ

a2n-λ

=

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

…2分
若数列{a_2n-λ}是等比数列，则必须

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

=q（常数），
即（

1

3

-q）a_2n+（q-1）λ+1=0，即

1 3 -q=0 (q-1)λ+1=0

?

q= 1 3 λ= 3 2

…5分
此时b₁=a₂-

3

2

=

1

3

a₁+1-

3

2

=-

1

6

≠0，
所以存在实数λ=

3

2

，使数列{a_2n-λ}是等比数列…6分
（2）由（1）得{b_n}是以-

1

6

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
故b_n=（-

1

6

）•(

1

3

)n-1=-

1

2

•(

1

3

)n，即a_2n=-

1

2

•(

1

3

)n+

3

2

…8分
由a_2n=

1

3

a_2n-1+（2n-1）得a_2n-1=3a_2n-3（2n-1）=-

1

2

•(

1

3

)n-1-6n+

15

2

，…10分
所以a_2n-1+a_2n=-

1

2

[(

1

3

)n-1+(

1

3

)n]-6n+9=-2•(

1

3

)n-6n+9，
S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=-2[

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n]-6（1+2+…+n）+9n
=-2•

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-6•

n(n+1)

2

+9n
=(

1

3

)n-1-3n²+6n=(

1

3

)n-3（n-1）²+2…12分
显然，当n∈N*时，{S_2n}单调递减，
又当n=1时，S₂=

7

3

＞0，当n=2时，S₄=-

8

9

＜0，所以当n≥2时，S_2n＜0；
S_2n-1=S_2n-a_2n=

3

2

•(

1

3

)n-

5

2

-3n²+6n．
同理，当且仅当n=1时，S_2n-1＞0，
综上，满足满足S_n＞0的所有正整数n为1和2…16分

点评：本题考查数列递推关系式的应用，综合考查等比数列的性质、分组求和，考查分类讨论思想及抽象思维、逻辑思维、综合运算能力，属于难题．