Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是等边三角形，AB∥CD，AB=2CD，BC⊥CD，∠DBC=30°，点E，F分别为AD，PB的中点．
（1）求证：CF∥平面PAD；
（2）求证：平面PEB⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PA中点G，连结FG，DG，由已知得四边形CDGF是平行四边行，由此能证明CF∥平面PAD．
（2）由已知得三角形ABD也是等边三角形，PE⊥AD，BE⊥AD，由此能证明平面ABCD⊥平面PEB．

解答： 证明：（1）取PA中点G，连结FG，DG，
因为F分别为AD、PB的中点，
所以可得FG∥AB且AB=2FG，
又因为AB∥CD，AB=2CD，
所以FG∥CD，FG=CD
即四边形CDGF是平行四边形，
所以CF∥DG，因为DG在平面PAD内
所以CF∥平面PAD．
（2）因为BC⊥CD，∠DBC=30°，
得BD=2CD，∠BDC=60°，
又由于AB∥CD，可得∠DBA=∠BDC=60°
又由于AB=2CD，可得AB=BD，
所以三角形ABD也是等边三角形．
因为E为AD的中点，所以有PE⊥AD，BE⊥AD，
即有AD⊥平面PEB
所以平面ABCD⊥平面PEB．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．