Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为矩形ABCD，E，F分别为AB，PC的中点，且PD=PE，PB=PC，求证：
（1）EF∥平面PAD；
（2）平面PDE⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CD中点O，连结FO，EO，由已知得平面EOF∥平面ADP，从而能证明EF∥平面PAD．
（2）取BC中点G，DE中点H，连接PH，由已知得PG⊥BC，HG⊥BC，从而BC⊥面PHG，进而PH⊥BC，PH⊥DE，由此能证明平面PDE⊥平面ABCD．

解答： 证明：（1）取CD中点O，连结FO，EO，
∵E，F分别为AB，PC的中点，∴FO∥PD，EO∥AD，
又EO∩FO=O，∴平面EOF∥平面ADP，
∵EF?平面EOF，∴EF∥平面PAD．
（2）取BC中点G，DE中点H，连接PH，
∵G是BC中点，PB=PC，∴PG⊥BC，
∵H是DE中点，∴HG∥AB，∴HG⊥BC，
∴BC⊥面PHG，∴PH⊥BC，
∵PD=PE，∴PH⊥DE，
∵DE与BC在同一平面ABCD内，且不平行，
∴DE与BC相交，∴PH⊥面ABCD，
∵PH?平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．

点评：本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．