Question

对于函数f（x）=

sinx 当sinx≥cosx cosx 当sinx＜cosx

，下列命题正确的是（　　）

• A、值域[-1，1]
• B、当且仅当x=2kπ+

  π

  2

  ，（k∈Z）取得最大值
• C、最小正周期为π
• D、当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+

  3π

  2

  ，（k∈Z）时f（x）＜0

Answer 1

考点：四种命题

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据题意，讨论函数f（x）的定义域、值域，单调性与最值，从而得出正确的结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

sinx 当sinx≥cosx cosx 当sinx＜cosx

，
∴当sinx≥cosx时，

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ，
sinx＜cosx时，-

3π

4

+2kπ＜x＜

π

4

+2kπ（k∈Z）；
∴f（x）=

sinx， π 4 +2kπ≤x≤ 5π 4 +2kπ cosx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ，k∈Z

，
∴f（x）的值域为[-

2

2

，1]，A错误；
当x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1，∴B错误；
∵f（x+π）=

-sinx -cosx

≠f（x），
∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，∴C错误；
当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
又当2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

，（k∈Z）时，f（x）＜0，∴D正确；
综上，正确的命题是D．
故选：D．

点评：本题考查了三角函数的定义域、值域以及单调性与周期性的应用问题，解题时应熟记三角函数的性质，是中档题．