Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，对任意正整数n都有na_n+1=2（n+1）a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）如果对于一切非零自然数n都有na_n≥λ（S_n-2）恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过递推关系式，判断{

an

n

}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）直接利用错位相减法求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）通过na_n≥λ（S_n-2）恒成立，求出λ在一侧的不等式，通过基本不等式求出最值，即可求实数λ的最大值．

解答： 解：（1）∵a₁=2，na_n+1=2（n+1）a_n，
∴

an+1 n+1

an n

=2，
所以{

an

n

}是以

a1

1

=2为首项，2为公比的等比数列，
∴

an

n

=2×2n-1=2n，an=n×2n
所以数列{a_n}的通项公式是an=n•2n；
（2）Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2ⁿ，
可得2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2ⁿ⁺¹，
用错位相减法，数列{a_n}的前n项的和Sn=(n-1)×2n+1+2；
（3）对于一切非零自然数n都有na_n≥λ（S_n-2）恒成立，
把an=n•2n，Sn=(n-1)×2n+1+2代入na_n≥λ（S_n-2）得到：n²≥2λ（n-1）对于一切非零自然数n成立．
当n=1时，λ为任意实数，
当n≥2时，等价于

n2

n-1

≥2λ对于一切非零自然数n成立．
等价于函数y=

n2

n-1

(n≥2)的最小值≥2λ，
而∵n≥2，∴y=

n2

n-1

=

[(n-1)+1]2

n-1

=(n-1)+

1

n-1

+2=[

(n-1)

-

1

n-1

]2+4≥4．
当n=2时取等号，所以函数y=

n2

n-1

(n≥2)的最小值4≥2λ，λ≤2，
综合得到，所以实数λ的取值范围为（-∞，2]．所以实数λ的最大值为2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，数列与不等式的关系，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．