Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=2，且$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n}={a_n}-2（n≥2）$，则{a_n}的通项公式为a_n=n+1．

Answer 1

分析 依题意可得$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}+\frac{{a}_{3}}{4}+…+\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n}}{n+1}={a}_{n+1}-2$，与已知关系式作差可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，可判断出数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以1为公比的等比数列，结合题意可知其首项为$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=1，利用等比数列的通项公式即可求得答案．

解答 解：∵$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n}={a_n}-2（n≥2）$，①
$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}+\frac{{a}_{3}}{4}+…+\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n}}{n+1}={a}_{n+1}-2$，②
①-②得：$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=a_n+1-a_n，整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，
∴$\frac{\frac{{a}_{n+1}}{n+2}}{\frac{{a}_{n}}{n+1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以1为首项，1为公比的等比数列，
∴a_n=n+1，
故答案为：a_n=n+1．

点评 本题考查数列递推式，求得数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以1为首项，1为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于中档题．