Question

2．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是ρsin²θ=6cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程ρsin²θ=6cosθ化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程是ρsin²θ=6cosθ，即ρ²sin²θ=6ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程，进而得出圆锥曲线类型．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C可得：t²-4t-12=0，解得t即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρsin²θ=6cosθ，即ρ²sin²θ=6ρcosθ，化为直角坐标方程：y²=6x，表示焦点在x轴上的抛物线、顶点为原点，向右开口．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C可得：t²-4t-12=0，
解得t=6或-2．
∴|AB|=|-2-6|=8．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．