Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间
（Ⅱ）已知g（x）=4^x-3•2^x+1，若对任意的m∈（0，+∞），存在n∈[0，1]，使得f（m）＜g（n），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出函数导数，通过讨论①当a≥0时，②当a＜0时的情况，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）的最大值，问题转化为f（x）_max＜g（x）_max，即-1+ln（-

1

a

）＜-1，从而求出a的范围．

解答： 解（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，x∈（0，+∞），∴f′（x）=a+

1

x

，
①当a≥0时，f′（x）=a+

1

x

＞0∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＜0时，f′（x）=a+

1

x

＞0⇒

1

x

＞-a⇒x＜-

1

a

，
∴f（x）在（0，-

1

a

）上单调递增，
综上：当a≥0时，f（x）的增区间是（0，+∞），当a＜0时，f（x）的增区间是（0，-

1

a

）；
（Ⅱ）g（x）=4^x-3•2^x+1，x∈[0，1]，令2^x=t∈[1，2]，
y=t²-3t+1，t∈[1，2]，当t=1或2时，y_max=-1，
由（Ⅰ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无最值，不可能满足f（m）＜g（n），
当a＜0时，在（0，-

1

a

）上递增，在（-

1

a

，+∞）上递减；
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

），
∵对任意的m∈（0，+∞），存在n∈[0，1]，使得f（m）＜g（n），
∴f（x）_max＜g（x）_max，∴-1+ln（-

1

a

）＜-1，
∴ln（-

1

a

）＜0，
∴-

1

a

＜1，∴a＜-1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题．