Question

已知函数f（x）=2x-alnx．
（1）若f（x）在x=1处的切线与直线x+y+1=0垂直，求证：对任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1-ln2；
（2）若a＜0，对于任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,压轴题,导数的综合应用

分析：（1）求导，由题意可得f′（1）=2-a=1，从而解出a，代入求f（x）在[

1

e

，1]上的最大值为2，最小值为1+ln2，将恒成立问题化为最值问题；
（2）由题意，f（x）在[

1

e

，1]上是增函数，f′（x）在[

1

e

，1]上是减函数，化恒成立问题为

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≤4对于任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]都成立，则f′（

1

e

）=2-ae≤4，从而解出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）证明：f′（x）=2-a

1

x

，
∵f（x）在x=1处的切线与直线x+y+1=0垂直，
∴f′（1）=2-a=1，
∴a=1，
∴f（x）=2x-lnx，f′（x）=2-

1

x

，
∴f（x）在[

1

e

，

1

2

]上减，在[

1

2

，1]上增，
∵f（

1

e

）=

2

e

+1，f（

1

2

）=1+ln2，f（1）=2，
则f（x）在[

1

e

，1]上的最大值为2，最小值为1+ln2，
故对任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2-（1+ln2）=1-ln2．
（2）f′（x）=2-a

1

x

，
又∵a＜0，x∈[

1

e

，1]，
∴f（x）在[

1

e

，1]上是增函数，f′（x）在[

1

e

，1]上是减函数，
不妨设x₁＞x₂，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|可化为
f（x₁）-f（x₂）≤4x₁-x₂，
即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≤4对于任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]都成立，
则f′（

1

e

）=2-ae≤4，
则-

2

e

≤a＜0．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．