Question

研究函数f（x）=

1

1+x2

的定义域、奇偶性、单调性、最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的最值及其几何意义,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，求函数的定义域、奇偶性、单调性、最大值．

解答： 解：由题意，1+x²≠0，
则函数f（x）=

1

1+x2

的定义域为R；
∵f（-x）=

1

1+(-x)2

=f（x），
∴函数f（x）=

1

1+x2

是偶函数；
∵y=

1

1+x

在（0，+∞）上是减函数，
∴f（x）=

1

1+x2

在（-∞，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
∵1+x²≥1，
∴函数f（x）=

1

1+x2

的最大值为1．

点评：本题考查了函数的定义域，奇偶性、单调性、最值的求法与判断，属于基础题．