题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+x．对于?x∈[0，1]，f（x）≤1成立，试求实数a的取值范围．
f（x）≤1?ax2+x≤1，x∈[0，1]…①
当x=0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈（0，1]时，①式化为a≤
-
在x∈（0，1]上恒成立．
设t=
，则t∈[1，+∞），则有a≤t2-t，所以只须a≤（t2-t）min=0
⇒a≤0，又a≠0，故a＜0
综上，所求实数a的取值范围是 ．
f（x）≤1?ax2+x≤1，x∈[0，1]…①
当x=0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈（0，1]时，①式化为a≤
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
设t=
| 1 |
| x |
⇒a≤0，又a≠0，故a＜0
综上，所求实数a的取值范围是
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：本题条件是恒成立不等式，通过参变量分离，得到a≤
-
，求出新函数g（x）=
-
在x∈（0，1]的最小值，得到本题结论．
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
解答：
解：∵f（x）≤1，
∴ax2+x≤1，x∈[0，1]…①
（1）当x=0时，a≠0，①式显然成立；
（2）当x∈（0，1]时，①式化为a≤
-
在x∈（0，1]上恒成立．
设t=
，则t∈[1，+∞），则有a≤t2-t，
所以只须a≤（t2-t）min=0
∴a≤0，
又∵a≠0，
∴a＜0．
故答案为：（-∞，0）．
∴ax2+x≤1，x∈[0，1]…①
（1）当x=0时，a≠0，①式显然成立；
（2）当x∈（0，1]时，①式化为a≤
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
设t=
| 1 |
| x |
所以只须a≤（t2-t）min=0
∴a≤0，
又∵a≠0，
∴a＜0．
故答案为：（-∞，0）．
点评：本题考查的是恒成立问题，考查了参变量分离，本题难度不大，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2数列{an}的首项为1，{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，且bn=an+1-an（n∈N*）则an=（ ）
| A、2n-1 |
| B、2n |
| C、2n+1-1 |
| D、2n-2 |