Question

数列{a_n}满足a₁=1且对任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=（　　）

• A、

  2013

  2014

• B、

  4026

  2014

• C、

  2012

  2013

• D、

  4024

  2013

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：取m=1，得a_n+1=a_n+（n+1），所以a_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，从而得到

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=1且对任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，
∴取m=1，得a_n+1=a_n+a₁+n，即a_n+1=a_n+（n+1）
∴a_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

）
=2×（1-

1

2014

）=

4026

2014

．
故选：B．

点评：本题考查数列的前2013项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．