题目内容

已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点，P是椭圆上一动点，问当P在何处时，有∠F1PF2的最大值？
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：在三角形PF1F2中，运用余弦定理，结合椭圆的定义，得到cos∠PF1F2=
2b2
PF1•PF2
-1，再由基本不等式，即可得到cos∠PF1F2的最小值，由余弦函数的单调性，即可得到P的位置．
解答： 解：在三角形PF1F2中，cos∠PF1F2=
PF12+PF22-F1F22
2PF1•PF2

=
(PF1+PF2)2-2PF1•PF2-4c2
2PF1•PF2
=
4a2-4c2-2PF1•PF2
2PF1•PF2

=
2b2
PF1•PF2
-1，由于PF1•PF2≤(
PF1+PF2
2
)2=a2，
当且仅当PF1=PF2，即P为短轴的端点，cos∠PF1F2取得最小值
2b2
a2
-1，∠PF1F2取得最大值．
点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查余弦定理及运用，基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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．
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2
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2
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y2
2
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．
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3
2
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π
3
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3
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4
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4
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