Question

14．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞0
• B． a＜5
• C． a＜10
• D． a＜20

Answer 1

分析 由已知得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-a|-a，x＞0}\\{0，x=0}\\{-|x-a|+a，x＜0}\end{array}\right.$，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-a（a∈R），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-a|-a，x＞0}\\{0，x=0}\\{-|x-a|+a，x＜0}\end{array}\right.$，
∵f（x）为R上的“20型增函数”，
∴f（x+20）＞f（x），
当x≥0时，|20+x-a|-a＞|x-a|-a，解得a＜10．
当x=-10时，由f（-10+20）＞f（-10），即f（10）＞f（-10），得：
|10-a|-a＞-|10-a|+a，
∴|10-a|＞a，∴10-a＞a或10-a＜-a，
解得a＜5，
∴实数a的取值范围是a＜5．
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的正确理解．