Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${a_n}{b_n}=\frac{3^n}{{{n^2}+n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若${T_n}＜{c^2}-2c$对n∈N^*恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，通过a_n=s_n-s_n-1，判断数列是等比数列，然后求解通项公式．
（2）利用数列裂项求和，然后利用不等式推出结果即可．

解答 解：（1）∵${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}\;（n∈{N^*}）$，①
当$n=1，{S_1}=\frac{3}{2}{a_1}-\frac{1}{2}$，∴a₁=1，
当n≥2，∵${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$，②
①-②：${a_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{3}{2}{a_{n-1}}$，即：a_n=3a_n-1（n≥2）…（4分）
又∵a₁=1，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3$对n∈N^*都成立，所以{a_n}是等比数列，
∴${a_n}={3^{n-1}}\;（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）∵${a_n}{b_n}=\frac{3^n}{{{n^2}+n}}$，∴${b_n}=\frac{3}{{{n^2}+n}}$，∴${T_n}=3（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}）$，
∴${T_n}=3（1-\frac{1}{n+1}）=3-\frac{3}{n+1}$，…（8分）
∵$\frac{3}{n+1}＞0$，∴T_n＜3对n∈N^*都 成立…（10分）
∴3≤c²-2c，∴c≥3或c≤-1，
∴实数c的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞），…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和以及数列与不等式的关系，考查分析问题解决问题的能力．