Question

3．设f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，若函数g（x）=f（x）-log_ax（a＞0且a≠1）在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（3，5）．

Answer 1

分析 由题意可判断出函数f（x）是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象，利用数形结合进行求解即可求a的取值范围．

解答 解：∵对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，
∴函数f（x）是周期为2的偶函数，
∵当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，
∴若x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，即f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
即f（x）=x²，x∈[-1，0]，
而g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点
可化为函数f（x）与h（x）=log_ax在x∈（0，+∞）上有三个不同的交点，
故作函数f（x）与h（x）=log_ax在（0，+∞）上的图象可得，
若0＜a＜1，则两个函数只有一个交点，不满足条件．
则a＞1，若函数f（x）与h（x）=log_ax在x∈（0，+∞）上有三个不同的交点，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（3）＜1}\\{h（5）＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}3＜1}\\{lo{g}_{a}5＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＜5}\end{array}\right.$，
故3＜a＜5；
故答案为：（3，5）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象，利用数形结合是解决本题的关键．