Question

14．若函数f（x）=mlnx+x²-mx在区间（0，+∞）内单调递增．则实数m的取值范围为（　　）

• A． [0，8]
• B． （0，8]
• C． （-∞，0]∪[8，+∞）
• D． （-∞，0）∪（8，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到m（x-1）≤2x²在（0，+∞）递增，通过讨论x的范围，分离参数m，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$+2x-m=$\frac{{2x}^{2}-mx+m}{x}$，
若f（x）在（0，+∞）递增，
则2x²-mx+m≥0在（0，+∞）恒成立，
即m（x-1）≤2x²在（0，+∞）递增，
①x∈（0，1）时，只需m≥$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$在（0，1）恒成立，
令p（x）=$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$，x∈（0，1），
则p′（x）=$\frac{4x（x-1）-{2x}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{2x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$＜0，
故p（x）在（0，1）递减，x→0时，p（x）→0，x→1时，p（x）→-∞，
故p（x）＜0，m≥0；
②x=1时，m≥0，
③x∈（1，+∞）时，只需m≤$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）恒成立，
令q（x）=$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
则q′（x）=$\frac{4x（x-1）-{2x}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{2x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，
令q′（x）＞0，解得：x＞2，令q′（x）＜0，解得：x＜2，
故q（x）在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，
故q（x）的最小值是q（2）=8，
故m≤8，
综上，m∈[0，8]．
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．