Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线x+2y-2=0交于A、B两点，|AB|=$\sqrt{5}$，且弦AB的中点的坐标为（m，$\frac{1}{2}$），求此椭圆的方程．

Answer 1

分析 弦AB的中点的坐标为（m，$\frac{1}{2}$），代入直线方程可得m+2×$\frac{1}{2}$-2=0，解得m=1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：（a²+4b²）x²-4a²x+4a²-4a²b²=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x₁+x₂=2，a²=4b²，x₁x₂=2-2b²．利用|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$，即可得出．

解答 解：∵弦AB的中点的坐标为（m，$\frac{1}{2}$），∴m+2×$\frac{1}{2}$-2=0，解得m=1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化为：（a²+4b²）x²-4a²x+4a²-4a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$=2，x₁x₂=$\frac{4{a}^{2}-4{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$，
可得a²=4b²，∴x₁x₂=2-2b²．
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-4×（2-2{b}^{2}）}$=$\sqrt{5}$，可得b²=$\frac{9}{8}$，a²=$\frac{9}{2}$．
∴此椭圆的方程为$\frac{2{x}^{2}}{9}$+$\frac{8{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题题．