Question

6．若数列{$\frac{1}{n（n+1）}$}的前n项和为S_n，若S_n•S_n+1=$\frac{3}{4}$，则正整数n的值为6．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和，可得前n项和为S_n，再由条件可得n的方程，解方程即可得到n的值．

解答 解：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n项和为S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
S_n•S_n+1=$\frac{3}{4}$，即为$\frac{n}{n+1}$•$\frac{n+1}{n+2}$=$\frac{3}{4}$，
解得n=6．
故答案为：6．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．