Question

4．函数φ（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，若把函数φ（x）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到函数f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x+φ′）（0＜φ′＜$\frac{π}{2}$）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x-φ′）在[0，2π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据φ（x）的部分图象，得出A、T、ω和φ的值，写出函数φ（x）；再利用图象变换得出函数f（x）；
（2）根据f（x）得出f（x+φ′），利用奇函数的定义得出φ′的值，写出函数g（x），求出它在x∈[0，2π]上的单调递减区间．

解答 解：（1）根据φ（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，
∴T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2；
又2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=2，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴φ（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
把函数φ（x）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，
得函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x+φ′）=2sin（x+φ′-$\frac{π}{3}$），
∵y=f（x+φ′）是奇函数，则sin（φ′-$\frac{π}{3}$）=0，
又0＜φ′＜$\frac{π}{2}$，
∴φ′=$\frac{π}{3}$，∴g（x）=cos（2x-φ′）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，
则kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴g（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
又x∈[0，2π]，∴当k=0时，递减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]；
当k=1时，递减区间为[$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]；
∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．