Question

6．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=4bcosC，$sinC=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
（1）求角B 的值；
（2）若$b=\sqrt{5}$，求三角形ABC 的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及三角内角和定理即可求解出角B 的值；
（2）利用正弦定理求出c，根据sinA=sin（B+C）求解sinA的值，即可求三角形ABC 的面积．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{b}=4cosC$ 
由正弦定理：$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$ 
得：$\frac{sinA}{sinB}=4cosC$ 
则sinA=4sinBcosC 
而sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=4sinBcosC 
则cosB•sinC=3sinB•cosC 
即：$tanB=\frac{1}{3}tanC$ 
由已知cosC＞0，
且$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ 
那么$tanC=\frac{sinC}{cosC}=3$ 
则tanB=1，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）由正弦定理$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}得$ $c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{\sqrt{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=3$，
又$sinA=sin（B+C）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ 
则△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×3×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=3$．

点评 本题考查了正弦定理和三角形内角和定理的运用和化简计算能力．属于基础题．