Question

在某次三星杯围棋决赛中，小将A以2：0战胜上届冠军B，引起B所在国围棋界一片哗然！已知三星杯决赛采用的是三局两胜制，若选手A在一次对决中战胜选手B的概率为

2

5

．
（Ⅰ）求选手A战胜选手B的概率；
（Ⅱ）若赛制改为七局四胜制，即选手A战胜选手B所需局数为X，求X的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）依题意，选手A战胜选手B分两种情况：2：0和2：1，即可求选手A战胜选手B的概率；
（Ⅱ）依题意，X可取4，5，6，7，此时选手A战胜选手B的比分为4：0，4：1，4：2，4：3，利用概率公式求出每一个可能值下的概率，再利用期望定义求解．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，选手A战胜选手B分两种情况：2：0和2：1
所以所求概率为0.4²+

C

1 2

×0.6×0.4²=0.352．
（Ⅱ）依题意，X可取4，5，6，7，此时选手A战胜选手B的比分为4：0，4：1，4：2，4：3，对应的情况分别为0.4⁴，

C

1 4

×0.6×0．44，

C

2 5

×0.6²×0.4⁴，

C

3 6

×0.6³×0.4⁴，其和为11.32×0.4⁴，
所以P（X=4）=

1

11.32

，P（X=5）=

2.4

11.32

，P（X=6）=

3.6

11.32

，P（X=7）=

2.16

11.32

故X的期望为4×

1

11.32

+5×

2.4

11.32

+6×

3.6

11.32

+7×

2.16

11.32

=4.834．

点评：此题考查了学生的理解题意的能力，还考查了独立事件同时发生的概率公式及离散型随机变量的定义及分布列，还考查了离散型随机变量的期望．