Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）
（1）求证：A₁E⊥平面BEP
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（3）求二面角B-A₁P-F的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）设正三角形ABC的边长为 3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF是正三角形，从而得到EF⊥AD．在图2中，推导出∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角，且A₁E⊥BE．由此能证明A₁E⊥平面BEP．
（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁E与平面A₁BP所成的角的大小．
（3）分别求出平面A₁FP的法向量和平面BA₁F的法向量，利用向量法能求出二面角B-A₁P-F的余弦值．

解答： （1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．

在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．
在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥BE．
又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．
（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
则E（0，0，0），A（0，0，1），
B（2，0，0），F（0，

3

，0），P （1，

3

，0），则

AE

=(0，0，-1)，

AB

=(2，0，-1)，

BP

=(-1，

3

，0)．
设平面ABP的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1

⊥平面ABP知，

n1

⊥

AB

，

n1

⊥

BP

，即

2x1-z1=0 -x1+ 3 y1=0.

令x1=

3

，得y1=1，z1=2

3

，

n1

=(

3

，1，2

3

)．cos＜

AE

，

n1

＞=

AE • n1

| AE |•| n1 |

=

3 ×0+1×0+2 3 ×(-1)

( 3 )2+12+(2 3 )2 • 02+02+(-1)2

=-

3

2

，＜

AE

，

n1

＞=120°，
∴直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60度．
（3）

AF

=(0，

3

，-1)，

PF

=(-1，0，0)，
设平面A₁FP的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)．
由

n2

⊥平面A₁FP知，

-2x2=0 3 y2-z2=0.

令y₂=1，得x2=0，z2=

3

，

n2

=(0，1，

3

)．cos＜

n1

，

n1

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3 ×0+1×1+2 3 × 3

( 3 )2+12+(2 3 )2 • 02+12+( 3 )2

=

7

8

，
所以二面角B-A₁P-F的余弦值是-

7

8

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．