Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x，其中a∈R，a≠0．
（Ⅰ）若（1，f（1））是f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上任意一点处切线的斜率k≥-1恒成立，求实数a的最大值；
（Ⅲ）试着讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由极值的定义求出a的值，即导函数在x=1处的值为0；
（Ⅱ）由导数的几何意义得出不等式，从而求出a的最大值；
（Ⅲ）二次函数根的讨论问题，分a＞0，a＜0情况进行讨论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知有f′(x)=

1

x

-ax-2，
∵（1，f（1））是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=1-a-2=0，
解得a=-1．
（Ⅱ）由题意知x＞0，且f′(x)=

1

x

-ax-2≥-1恒成立，即a≤

1

x2

-

1

x

．
令g（x）=

1

x2

-

1

x

，于是g′(x)=

-2

x3

+

1

x2

=

x-2

x3

，
∴当x≥2时，g'（x）≥0，即g（x）是[2，+∞）上的增函数，
当0＜x＜2时，g'（x）＜0，即g（x）是（0，2）上的减函数，
∴当x=2时，g（x）取最小值g（2）=-

1

4

，
∴a≤-

1

4

，即a的最大值为-

1

4

（Ⅲ）∵f′(x)=

1

x

-ax+2=

-ax2-2x+1

x

，
设φ（x）=-ax²-2x+1（x＞0，a≠0），
①当a＞0时，φ（x）对称轴为x=-

1

a

＜0，过点（0，1）开口向下，有一个正根x=

a+1 -1

a

，
则f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函数，在(

a+1 -1

a

 ，  +∞)上是减函数．
当a＜0时，φ（x）对称轴为x=-

1

a

＞0，过点（0，1）开口向上，
i）若a≤-1，f'（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
ii）若-1＜a＜0，当x∈(0 ，  

a+1 -1

a

)时，f'（x）≥0；当x∈(

a+1 -1

a

 ，  

- a+1 -1

a

)时，f'（x）≤0；
当x∈(

- a+1 -1

a

 ，  +∞)时，f'（x）≥0；
∴f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函数，在(

a+1 -1

a

 ，  

- a+1 -1

a

)上是减函数，在(

- a+1 -1

a

 ，  +∞)上是增函数．
∴综上所述，①当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当-1＜a＜0时，f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函数，在(

a+1 -1

a

 ，  

- a+1 -1

a

)上是减函数，在(

- a+1 -1

a

 ，  +∞)上是增函数；
③当a＞0时，f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函数，在(

a+1 -1

a

 ，  +∞)上是减函数．

点评：这是一道导函数的综合性问题，考查了导数的几何意义、极值、单调区间．这是一道常规题，也是易错题，特别是对二次函数的讨论，更容易出错．