Question

如图1，已知⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为弧BC的中点．将⊙O沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：OF∥AC；
（Ⅱ）在弧BD上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角C-AD-B的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的性质

专题：空间向量及应用

分析：（Ⅰ）以O为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出向量

AC

与

OF

的坐标，利用向量共线的坐标表示求证OF∥AC，从而说明线面平行；．
（Ⅱ）假设在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，根据（1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，从而得到OG∥AD，利用共线向量基本定理得到G的坐标（含有参数）．
（Ⅲ）根据∠DAB=60°求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，因为∠CAB=45°，连结OC，则OC⊥AB．
以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，
作空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-2，0），C（0，0，2）．

AC

=（0，0，2）-（0，-2，0）=（0，2，2），
∵点F为

BC

的中点，∴点F的坐标为（0，

2

，

2

），

OF

=(0，

2

，

2

)．
∴

OF

=

2

2

AC

，∴OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（Ⅱ）解：设在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，
∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，则有OG∥AD．
设

OG

=λ

AD

（λ＞0），∵

AD

=（

3

，1，0），
∴

OG

=（

3

λ，λ，0）．
又∵|

OG

|=2，∴

( 3 λ)2+λ2+λ2

=2，解得λ=±1（舍去-1）．
∴

OG

=（

3

，1，0），则G为

BD

的中点．
∴在

BD

上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为

BD

的中点．
（Ⅲ）解：∵∠DAB=60°，
∴点D的坐标D（

3

，1，0），

AD

=（

3

，1，0）．
设二面角C-AD-B的大小为θ，
设

n1

=(x，y，z)为平面ACD的一个法向量．
由

n1 • AC =2y+2z=0 n1 • AD = 3 x+y=0

，取x=1，解得y=-

3

，z=

3

．∴

n1

=（1，-

3

，

3

）． 
取平面ADB的一个法向量

n2

=（0，0，1），
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

3

1× 7

|=

21

7

．
∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 21 7 )2

=

2 7

7

．
∴二面角C-AD-B的正弦值为

2 7

7

．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．