Question

3．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB，则角A的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． （0，$\frac{π}{3}$]
• C． （0，$\frac{π}{2}$]
• D． [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]

Answer 1

分析 由已知化简可得$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}=\frac{sinC}{2+cosC}$，以$\frac{1}{m}$代替上式，由角C的存在性找出$\frac{1}{m}$的取值限制，再由m推求对A的取值限制，可求得A的范围．

解答 解：已知2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB，将sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入：
2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinAcosC-cosAsinC；
分离A、C：$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}=\frac{sinC}{2+cosC}$；①
以$\frac{1}{m}$代替上式，由角C的存在性找出$\frac{1}{m}$的取值限制，再由m推求对A的取值限制，这样就能满足各种要求；
由$\frac{sinC}{2+cosC}$=$\frac{1}{m}$，
⇒msinC=2+cosC，
⇒m²sin²C=4+4cosC+cos²C，
⇒（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0；
若三角形存在，即C存在，上列关于cosC的二次方程有实数解，根的判别式不小于0：
4²-4×（1+m²）（4-m²）≥0，
⇒m²-3≥0，
⇒m≥$\sqrt{3}$，
重回①式：$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}$≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
⇒$\sqrt{3}$sinA≤$\sqrt{3}$-cosA，
⇒3sin²A≤3-2$\sqrt{3}$cosA+cos²A；
消去正弦函数：4cos²A-2$\sqrt{3}$cosA≤0，
解得：cosA≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，$\frac{π}{6}$]．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，一元二次方程的性质，考查了计算能力和转化思想，综合性强，属于中档题．