Question

7．如图，已知B、C是二面角α-l-β棱上两点AB?α，AB⊥l，CD?β，CD⊥l，AB=BC=1，CD=$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{2}$，则二面角α-l-β的大小是150°．

Answer 1

分析 将向量 $\overrightarrow{AD}$转化成  $\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DC}$，然后等式两边同时平方表示出向量 $\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{CD}$的模，再根据向量的数量积求出向量 $\overrightarrow{CD}$与 $\overrightarrow{BA}$的夹角，而两个向量 的夹角大小就是二面角的大小．

解答 解：由条件，知AB⊥l，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，CD⊥l可得：$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$，
AB=BC=1，CD=$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{2}$，
所以$\overrightarrow{AD}$²=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BC}$²+$\overrightarrow{CD}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$
=1+1+3+2×1×$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=8
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=30°，＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=150°
所以二面角的大小为150°
故答案为：150°．

点评 本题主要考查了二面角的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．