Question

已知向量

m

=（sin2x，cosx），

n

=（

3

，2cosx）（x∈R），f（x）=

m

•

n

-1，
（1）求f（x）的单调递增区间．
（2）求f（x）在[0，

π

3

]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的增区间．
（2）根据x∈[0，

π

3

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在[0，

π

3

]的最大值和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

-1=

3

sin2x+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函数f（x）的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）∵x∈[0，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，故当2x+

π

6

=

π

6

时，f（x）=2sin（2x+

π

6

）取得最小值1，
当2x+

π

6

=

π

2

时，f（x）=2sin（2x+

π

6

）取得最大值2．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．