题目内容
在△ABC中，已知| AB |
| AC |
（1）求△ABC的三边的长a，b，c；
（2）设P是△ABC（不含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z且
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
①写出x、y、z所满足的等量关系；
②求
| 2 |
| x |
| 1 |
| y |
考点：基本不等式在最值问题中的应用,平面向量数量积的运算
专题：综合题,解三角形,不等式的解法及应用
分析：（1）设△ABC中的三边分别为a、b、c，由三角形内角和化简sinB=cosAsinC，算出C=
，由此化简
•
=9，得到b2=9，解出b=3，代入三角形面积公式算出a=4，最后由勾股定理即可算出c的长；
（2）①由三角形面积公式将△ABC的面积分为三块计算，化简得3x+4y+5z=12，即为x、y、z所满足的等量关系；
②确定点P在角A的平分线上，x=z，可得2x+y=3（x＞0，y＞0），再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求
+
的最小值．
| π |
| 2 |
| AB |
| AC |
（2）①由三角形面积公式将△ABC的面积分为三块计算，化简得3x+4y+5z=12，即为x、y、z所满足的等量关系；
②确定点P在角A的平分线上，x=z，可得2x+y=3（x＞0，y＞0），再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求
| 2 |
| x |
| 1 |
| y |
解答：
解：（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=
又∵
•
=9，得bccosA=9
∴结合ccosA=b，有b2=9，可得b=3．
∵S△ABC=
ab=6，∴a=4
结合c2=a2+b2得c=5
即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5；
（2）①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC，可得
•3x+
•4y+
•5z=6
故3x+4y+5z=12；
②∵
=
+
，
∴点P在角A的平分线上，
∴x=z，∴2x+y=3（x＞0，y＞0），
∴
+
=
(2x+y)(
+
)=
(4+
+
+1)≥
(5+4)=3
当且仅当x=y时上式取“=”．
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=
| π |
| 2 |
又∵
| AB |
| AC |
∴结合ccosA=b，有b2=9，可得b=3．
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
结合c2=a2+b2得c=5
即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5；
（2）①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC，可得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故3x+4y+5z=12；
②∵
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
∴点P在角A的平分线上，
∴x=z，∴2x+y=3（x＞0，y＞0），
∴
| 2 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| 3 |
| 2x |
| y |
| 2y |
| x |
| 1 |
| 3 |
当且仅当x=y时上式取“=”．
点评：本题着重考查了向量的数量积、三角形的面积公式、勾股定理的知识，考查了基本不等式，属于中档题．请同学们注意解题过程中转化化归、数形结合和方程思想的运用．
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