Question

设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0），满足|z|=

10

，且复数（1-2i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若

.

z

+

m+i

1-i

（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．

Answer 1

考点：复数的基本概念

专题：数系的扩充和复数

分析：（I）由于|z|=

10

，可得a²+b²=10．又复数（1-2i）z=（a+2b）+（b-2a）i在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．可得a+2b+（b-2a）=0，联立即可解得．
（II）利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．

解答： 解：（I）∵|z|=

10

，∴

a2+b2

=

10

，即a²+b²=10．①
又复数（1-2i）z=（1-2i）（a+bi）=（a+2b）+（b-2a）i在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．
∴a+2b+（b-2a）=0，即a=3b．②
联立①②解得

a=3 b=1

或

a=-3 b=-1

．
由于a＞0，∴z=3+i．
（II）

.

z

+

m+i

1-i

=3-i+

(m+i)(1+i)

(1+i)(1-i)

=3-i+

m-1+(m+1)i

2

=

m+5

2

+

m-1

2

i为纯虚数，
∴

m-1

2

≠0，

m+5

2

=0，解得m=-5．

点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数的几何意义、纯虚数的定义等基础知识与基本技能方法，属于基础题．