Question

抛物线y=-

1

8

x²的准线与y轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M，N两点，点B在抛物线的对称轴上，（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0．
（1）求|

OB

|的取值范围；
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形且∠B=90°，若存在求出点B，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点P（x₀，y₀），联立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点P，由（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0，可得BP⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，令x=0可求B的纵坐标，结合k的范围可求|

OB

|的范围；
（2）若存在点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°，则有（1）可知|BP|=

|MN|

2

，由两点间的距离公式及弦长公式分别求出等式两边的长度（用含有k的代数式表示），两边平方后即可求解k的值，则答案可求．

解答： 解：（1）由题意可得A（0，2），直线MN的斜率k存在且k≠0
设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），
联立方程可得x²+8kx+16=0
则可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴E（-4k，2-4k²）
∵（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0，
∴BP⊥MN即M在MN的垂直平分线
∴MN的垂直平分线y+4k²-2=-

1

k

(x+4k)与y轴的交点即是B，
令x=0，可得y=-2-4k²，则|

OB

|=2+4k²＞6；
（2）存在点B（0，10）为所求．
事实上，若存在点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．
∵由（1）知PB垂直平分线段MN，
∴|BP|=

|MN|

2

，
由B（0，2+4k²），P（4k，4k²-2），
∴|BP|=

(4k)2+(4k2-2-2-4k2)2

=4

k2+1

．

|MN|

2

=

1

2

1+k2

•

64k2-64

=4

k4-1

．
∴4

k2+1

=4

k4-1

．
解得，k²=2，
∴点B（0，10）为所求．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的数量积运算及利用数量积判断两向量的垂直关系，考查了数学转化思想方法，解答的关键是能有题意得到相应的等式，训练了弦长公式的应用，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．