题目内容
设函数f（x）=x4+ax3+x2+b．若f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的概念及应用
分析：由f′（x）=x（4x2+3ax+2），f（x）仅在x=0处有极值，得（3a）2-4•4•2=9a2-32≤0，此时，x∈（-∞，0），f′x）＜0，x∈（0，+∞），f′（x）＞0f（x）仅在x=0处有极小值，从而求出a的范围．
解答：
解：f′（x）=x（4x2+3ax+2）
因f（x）仅在x=0处有极值，等价于4x2+3ax+2≥0
对x∈R恒成立，
即（3a）2-4•4•2=9a2-32≤0，
得-
≤a≤
，
此时，x∈（-∞，0），f′（x）＜0，x∈（0，+∞），f′（x）＞0
f（x）仅在x=0处有极小值，所求a的范围是：[-
，
]．
因f（x）仅在x=0处有极值，等价于4x2+3ax+2≥0
对x∈R恒成立，
即（3a）2-4•4•2=9a2-32≤0，
得-
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
此时，x∈（-∞，0），f′（x）＜0，x∈（0，+∞），f′（x）＞0
f（x）仅在x=0处有极小值，所求a的范围是：[-
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．
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